Энергия электрического поля — формулы и определение с примерами

Энергия электрического поля: определение

Определение 1

Поле — это материальная среда, которая передает воздействие тел друг на друга, в том числе в вакууме.

Электрическое поле является одним из двух компонентов электромагнитного поля.

Определение 2

Электрическое поле — это векторное поле, которое существует вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом.

Определение 3

Энергия электрического поля — это энергия проводника, обладающего зарядом. Она равна работе, затраченной, чтобы зарядить этот проводник.

Понятие энергии электрического поля связано с понятиями ее накопления и расходования. Поэтому должны быть рассмотрены и накопители этой энергии — электрические конденсаторы.

Определение 4

Конденсатор — это двухполюсник с постоянным или переменным значением емкости и малой проводимостью; это устройство для накопления заряда и энергии электрического поля.

Формула энергии электрического поля, единицы измерения величины

Процесс зарядки конденсатора представляет собой последовательный перенос малых порций заряда с одной обкладки на другую. Так как каждая порция переносится в условиях, когда на обкладках уже имеется некоторый заряд, то между ними существует некоторая разность потенциалов (размерность в скобках):

U=q/C, где:

• U — разность потенциалов (В);
• q — заряд (Кл);
• C — емкость конденсатора (Ф).

При переносе каждой порции внешние силы совершают работу, которая равна:

ΔA=UΔq=qΔq/C

Энергия конденсатора W с емкостью C находится путем интегрирования выражения в пределах от 0 до q:

W=A=q²/2C

Измеряется энергия электрического поля в джоулях (Дж).

Если q=CU, то

W=q²/2C=C²U²/2C=CU²/2=qU/2

Электрическую энергию W нужно рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в заряженном конденсаторе. Формулы для W аналогичны формулам для потенциальной энергии Eп деформированной пружины:

Еп=Fx/2, где

x — деформация.

F=kx — внешняя сила.

k — коэффициент жесткости.

Формула энергии через применение напряженности:

Напряженность однородного электрического поля: E=U/d, где:

• E — напряженность;
• U — напряжение;
• d — расстояние между обкладками конденсатора.

Емкость: C=ε0εS/d, где:

• ε0 — электрическая постоянная;
• ε — диэлектрическая проницаемость;
• S — площадь пластин;
• d — расстояние между пластинами.

Тогда энергия равна:

W=CU²/2=ε0εSE²d²/2d=ε0εE²V/2, где V=Sd — объем пространства между пластинами.

Электрическое поле в формуле конденсатора

Подобно положительным и отрицательным зарядам, пластина конденсатора также ведет себя как акцепторная и донорная пластина, когда источник проходит через пластины конденсатора. Положительный вывод конденсатора будет отдавать электрон, и эти свободные электроны будут приняты отрицательным выводом конденсатора.

Из-за подвижности свободных зарядов внутри конденсатора будет введен электрический поток и полное электрическое поле в конденсаторе будет

Е=δ/∈0

Плотность заряда каждой пластины конденсатора называется поверхностной плотностью, которая определяется как заряд, присутствующий на поверхности пластины на единицу площади, и выражается как σ=В/О.

Следовательно,

Это уравнение дает электрическое поле, создаваемое между двумя пластинами конденсатора.

Влияние электрического поля на живые организмы

Многие люди понятие электричества и электрического поля связывают только с электризацией различных тел, мощными электрическими машинами, средствами электроники и т. п. Вместе с тем электрические явления происходят и в живой природе. И это не только электризация шерсти кошки или собаки, когда их гладят рукой, но и более сложные формы, связанные с их жизнедеятельностью. В природе существуют живые организмы, способные генерировать электричество и использовать его для охоты, защиты и ориентирования в пространстве.

Одним из таких живых существ является электрический угорь (рис. 1.47). Он может генерировать разность потенциалов между отдельными частями своего тела до 360 В. Разряды, которые создает эта рыба, живые существа ощущают на расстоянии до 20 см.

Рис. Электрический угорь

Свойства электрического угря использовали древние врачи для лечения подагры, мигрени, эпилепсии и т. п.

Аналогичные свойства и у электрического ската-торпедо (рис. 1.48). Он может на протяжении 15 с генерировать до 150 разрядов за секунду по 80 В каждый.

Pиc. Электрический скат

Электрические явления играют существенную роль и в физиологии человека. Одним из мощных генераторов человека является сердце. На рисунке 1.49 показаны о к ни потенциальные поверхности тела человека при активной работе сердца.

Рис. Эквипотенциальные растений.

Хотя эти потенциалы сравнительно невелики — несколько милливольт, но их используют для диагностирования болезней сердца. Записывая эти потенциалы, специальные аппараты создают кардиограммы, по которым врач определяет состояние человека.

В физиотерапевтических кабинетах используют лечебный метод -фарадизацию, когда человека подвергают действию электрического поля и таким образом лечат некоторые болезни.

Исследования ученых показали, что под действием электрического поля улучшаются свойства семян растений. Растения, выращенные поверхности человека    из таких семян, существенно улучшают спою урожайность. Даже трава растет интенсивнее под линиями электропередач, где существует сильное электрическое поле.

Если человека определенным образом изолировать от действия электрического поля «Земли, то его состояние существенно ухудшается. Некоторые люди чувствуют себя не комфортно в цельнометаллических вагонах, самолетах, автомобилях, где электрическое поле Земли экранируется металлическими корпусами транспортных средств.

Энергия заряженного конденсатора

Существует еще одна эквивалентная запись заряженного конденсатора при использовании соотношения Q=CU:

We=Q22C=CU22=QU2.

Электрическая энергия We рассматривается как потенциальная. Формулы для We аналогичны формулам потенциальной энергии Ep деформированной пружины, а именно:

Ep=kx22=F22k=Fx2, где k является жесткостью пружины, х – деформацией, F=kx – внешней силой.

Определение 2

Современные представления электрической энергии говорят о том, что она сосредоточена между пластинами конденсатора. В связи с этим и получила название энергии электрического поля. Это объяснимо с помощью иллюстрирования заряженного плоского конденсатора.

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать ,так что

Величина
называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу: (1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

где
— заряд шара,
— его радиус. Отсюда ёмкость шара:(2)

Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в
раз:

Соответственно, ёмкость шара в
раз увеличивается:(3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В.
В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.

мкФ.

Как видите,
Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2):

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м: Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.

Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух

Пусть заряды обкладок равны и

Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.

Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

Здесь
— напряжённость поля положительной обкладки,
— напряженность поля отрицательной обкладки,
— поверхностная плотность зарядов на обкладке:

На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора

Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля
имеем:

Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):

Внутри конденсатора поле удваивается:

или (4)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно
. Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов
между обкладками равна произведению
на
(вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):(5)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:(6)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В.
Формула (6), таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.

Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:(7)

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью.

Как изменится ёмкость конденсатора?

Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в
раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:(8)

Соответственно, напряжение на конденсаторе:(9)

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:(10)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.

Важное следствие формулы (10): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.

Последовательный конденсатор электрического поля

При последовательном соединении конденсаторов разность потенциалов между обкладками складывается. Если у нас есть два конденсатора C1 и C2 соединены последовательно, а разность потенциалов на пластинах равна V1 и V2 соответственно, тогда чистая разность потенциалов становится

В=В1+V2

Емкость C= Q/V

Следовательно, V=Q/C

Используя это в приведенном выше уравнении, мы получаем

В=К/К1 + вопрос/ответ2

Решение этого дальше

Разность потенциалов также равна V=Ed

Следовательно, электрическое поле из-за последовательно соединенных конденсаторов можно рассчитать как

Е= В/д

Если есть n конденсаторов, соединенных последовательно, то электрическое поле на n конденсаторах будет равно

Электрическое поле в цилиндрическом конденсаторе

Цилиндрический конденсатор состоит из двух цилиндрических пластин. Внутренний цилиндр имеет положительную плотность поверхностного заряда +σ радиуса «r», а внешний цилиндр имеет отрицательную плотность поверхностного заряда –σ радиуса «R».

Электрический поток проходит от поверхности внутреннего цилиндра к внешнему цилиндру, как показано на рисунке выше. На рис. (б) показано поперечное сечение цилиндрического конденсатора. Пусть ds — поверхность Гаусса в середине двух заряженных цилиндров.

Электрическое поле внутри внутреннего цилиндра равно нулю, так как через эту область нет электрического потока, а также снаружи цилиндра радиуса R также равно нулю. Электрический поток течет между двумя цилиндрами на расстоянии s от центра.

Электрический поток через гауссову поверхность ds определяется выражением

Следовательно,

Это уравнение дает электрическое поле, создаваемое цилиндрическим конденсатором.

Объемная плотность электрической энергии

Определение 3

Напряженность однородного поля плоского конденсатора равняется E=Ud, его емкость – C=ε0εSd.

Отсюда следует, что We=C·U22=ε0·ε·S·E2·d22d=ε0·ε·E22V, где V=Sd обозначает объем пространства между обкладками с наличием электрического поля. Данное соотношение приводит к формуле следующей физической величины.

Определение 4

Физическая величина We=ε0·ε·E22 – это электрическая энергия на единицу объема пространства, в котором создается электрическое поле. Ее называют объемной плотностью данной электрической энергии.

Энергия поля конденсатора, создаваемая любыми распределениями электрических зарядов в пространстве, находится путем интегрирования We по всему объему, в котором было создано электрическое поле.

Сохранение энергии электрического поля

Закон сохранения энергии определяется в виде энергетического баланса при всевозможных изменениях в любой системе:

A внеш.=ΔW+Q, где:

• A внеш. — работа, совершенная над системой внешними силами;
• ΔW — изменение энергии системы;
• Q — количество теплоты, выделяемое в системе.

Если А внеш. > 0, то над системой совершают положительную работу, а если А внеш < 0, положительную работу совершает система.

Если ΔW > 0, то энергия системы увеличивается, а если ΔW < 0, энергия уменьшается.

Наконец, если Q > 0, то в системе выделяется тепло, а если Q < 0, тепло системой поглощается.